正定矩阵和半正定矩阵是线性代数和优化理论中至关重要的概念。它们深刻地揭示了二次型（quadratic forms）的代数性质和与之相关的几何形状。
我们首先可以用一个简单的类比来理解：
正定矩阵（Positive Definite Matrix, PD）就像是一个正数 ，对于任何非零向量 x \mathbf{x} x x T A x \mathbf{x}^TA \mathbf{x} x T A x > 0 >0 > 0
半正定矩阵（Positive Semi-definite Matrix, PSD）就像是一个非负数 ，对于任何非零向量 x \mathbf{x} x x T A x \mathbf{x}^TA \mathbf{x} x T A x ≥ 0 \ge 0 ≥ 0
正式定义如下：
A symmetric matrix A ∈ R n × n A\in \mathbb{R}^{n\times n} A ∈ R n × n positive definite (PD) if x T A x > 0 \mathbf{x}^TA \mathbf{x}>0 x T A x > 0 ∀ 0 ≠ x ∈ R n \forall\, \mathbf{0}\neq \mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n} ∀ 0 = x ∈ R n
A symmetric matrix A ∈ R n × n A\in \mathbb{R}^{n\times n} A ∈ R n × n positive semi-definite (PSD) if x T A x ≥ 0 \mathbf{x}^TA \mathbf{x}\ge0 x T A x ≥ 0 ∀ 0 ≠ x ∈ R n \forall\, \mathbf{0}\neq \mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n} ∀ 0 = x ∈ R n
关于我们如何证明 一个矩阵是半正定或是正定，有三种方法：
用定义证。
对于 PD ，其所有的特征值 都 > 0 >0 > 0 特征值 都 ≥ 0 \ge 0 ≥ 0
对于 PD ，其所有主子矩阵（principal submatrix）的行列式都为正 ，也可以说所有的首项顺序主子式（leading principal minor）都为正。
但要注意，对于 PSD 没有后面那条性质 ，也就是说如果矩阵 A A A A A A
反例：A = [ 0 0 0 − 1 ] A=\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} A = [ 0 0 0 − 1 ] ( 0 , − 1 ) [ 0 0 0 − 1 ] ( 0 − 1 ) = − 1 < 0 (0,-1)\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ -1\end{pmatrix}=-1<0 ( 0 , − 1 ) [ 0 0 0 − 1 ] ( 0 − 1 ) = − 1 < 0 A A A
实际上，对于 PSD ，有：其所有主子矩阵（principal submatrix）的行列式都为非负 ，即所有的顺序主子式（principal minor）为非负。
关于最后一个方法，所谓的首项主子矩阵 就如下图：
图中的每一个框都是一个首项主子矩阵，以此类推直到整个矩阵。
所以，所有的首项主子矩阵也可以写成下述形式
A k = [ a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 k a 21 a 22 a 23 ⋯ a 2 k a 31 a 32 a 33 ⋯ a 3 k ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a k 1 a k 2 a k 3 ⋯ a k k ] k × k ∀ k = 1 , 2 , … , n A_k=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2k} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3k} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{k1} & a_{k2} & a_{k3} & \cdots & a_{kk}
\end{bmatrix}_{k \times k} \enspace \forall\, k =1,2,\ldots,n A k = a 11 a 21 a 31 ⋮ a k 1 a 12 a 22 a 32 ⋮ a k 2 a 13 a 23 a 33 ⋮ a k 3 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a 1 k a 2 k a 3 k ⋮ a k k k × k ∀ k = 1 , 2 , … , n 而所谓的首项顺序主子式 就是首项主子矩阵的行列式。
对于一般的主子矩阵 ，指的是删除相同的行和列而形成的子矩阵；而一般的顺序主子式 就是主子矩阵的行列式。
关于最后一个方法，所谓的对称子矩阵 定义如下：
A submatrix B B B A A A
B = [ a i 1 i 1 a i 1 i 2 a i 1 i 3 ⋯ a i 1 i k a i 2 i 1 a i 2 i 2 a i 2 i 3 ⋯ a i 2 i k a i 3 i 1 a i 3 i 2 a i 3 i 3 ⋯ a i 3 i k ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a i k i 1 a i k i 2 a i k i 3 ⋯ a i k i k ] k × k ⟺ a i j is an entry of B iff a j i is also an entry of B . \begin{align}
&B=\begin{bmatrix}
a_{i_1i_1} & a_{i_1i_2} & a_{i_1i_3} & \cdots & a_{i_1i_k} \\
a_{i_2i_1} & a_{i_2i_2} & a_{i_2i_3} & \cdots & a_{i_2i_k} \\
a_{i_3i_1} & a_{i_3i_2} & a_{i_3i_3} & \cdots & a_{i_3i_k} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{i_ki_1} & a_{i_ki_2} & a_{i_ki_3} & \cdots & a_{i_ki_k}
\end{bmatrix}_{k \times k} \\
& \\
& \iff a_{ij}\enspace \text{is an entry of $B$ iff}\enspace a_{ji} \enspace \text{is also an entry of $B$.}
\end{align} B = a i 1 i 1 a i 2 i 1 a i 3 i 1 ⋮ a i k i 1 a i 1 i 2 a i 2 i 2 a i 3 i 2 ⋮ a i k i 2 a i 1 i 3 a i 2 i 3 a i 3 i 3 ⋮ a i k i 3 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ a i 1 i k a i 2 i k a i 3 i k ⋮ a i k i k k × k ⟺ a ij is an entry of B iff a j i is also an entry of B . 其中：
entry of matrix 指的是矩阵的元素。
1 ≤ i 1 < i 2 < … < i k ≤ n & 1 ≤ k ≤ n 1\le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n \enspace\& \enspace 1\le k \le n 1 ≤ i 1 < i 2 < … < i k ≤ n & 1 ≤ k ≤ n
此外，当对称矩阵 A ∈ R 2 × 2 A\in \mathbb{R}^{2\times 2} A ∈ R 2 × 2
a 11 ≥ 0 , a 22 ≥ 0 a_{11}\ge 0,a_{22}\ge 0 a 11 ≥ 0 , a 22 ≥ 0 ∣ A ∣ ≥ 0 |A|\ge 0 ∣ A ∣ ≥ 0
其中 A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] 2 × 2 A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}_{2\times 2} A = [ a 11 a 21 a 12 a 22 ] 2 × 2
